Iniciando a lógica em PHP

Apóstrofes e aspas 

No PHP, um valor pode ser atribuído a uma string usando-se aspas ("string") ou apóstrofes ('string'). Caso só existam caracteres normais dentro da string, o efeito será o exatamente o mesmo, independentemente do uso de aspas ou apóstrofes. Porém, quando se usa variáveis dentro de strings, o efeito é completamente diferente. As aspas permitem que você insira o valor de variáveis dentro de strings sem precisar fazer concatenação, já as apóstrofes não. Perceba:

<?php
$nome = 'João';

echo "Olá, meu nome é $nome !"; // O resultado é 'Olá, meu nome é João !'

echo 'Olá, meu nome é $nome !'; // O resultado é 'Olá, meu nome é $nome !'

echo 'Olá, meu nome é '. $nome . ' !'; // O resultado é 'Olá, meu nome é João !'
?>

Dica

Eu recomendo sempre utilizar aspas, pois facilita muito, além disso, chegará uma etapa em que teremos que usar ambos (apóstrofo e aspas). Então sempre nesta hierarquia: aspas depois apóstrofo.
Operadores

Operadores Aritméticos 

Exemplo	Nome	Resultado
$a + b	Adição	Soma de $a e $b
$a - $b	Subtração	Diferença entre $a e $b
$a * $b	Multiplicação	Produto de $a e $b
$a / $b	Divisão	Quociente de $a e $b
$a % $b	Módulo	Resto da divisão de $a e $b

Operadores de Atribuição 

O operador básico de atribuição é o "=", que significa "recebe" (nunca confunda com "igual").

<?php
$a = '3'; 

echo $a; // retorna 3
?>

É importante mencionar que existem também os operadores combinados, que são o operador de atribuição mais um operador aritmético.

<?php
$a =+ 5; // o mesmo que $a = $a + 5;
?>

Operadores de comparação 

Exemplo	Nome	Resultado
$a == $b	Igual	Verdadeiro se $a igual a $b
$a === $b	Idêntico	Verdadeiro se $a igual a $b e eles são do mesmo tipo (PHP4)
$a != $b	Diferente	Verdadeiro se $a diferente de $b
$a <> $b	Diferente	Verdadeiro se $a diferente de $b
$a !== $b	Não idêntico	Verdadeiro se $a diferente de $b, ou se eles não são do mesmo tipo (PHP4)
$a < $b	Menor	Verdadeiro se $a menor que $b
$a > $b	Maior	Verdadeiro se $a maior que $b
$a <= $b	Menor ou igual	Verdadeiro se $a menor ou igual a $b
$a >= $b	Maior ou igual	Verdadeiro se $a maior ou igual a $b

Operadores Lógicos 

Exemplo	Nome	Resultado
$a and $b	e	Verdadeiro quando $a e $b são verdadeiros
$a or $b	ou	Verdadeiro se $a ou $b são verdadeiros
$a xor $b	xor	Verdadeiro se $a ou $b são verdadeiros, mas não ambos
!$a	não	Verdadeiro se $a falso
$a && $b	e	Verdadeiro quando $a e $b são verdadeiros
$a || $b	ou	Verdadeiro se $a ou $b são verdadeiros

Operadores de string 

Existem apenas 2 operadores de string. O de concatenação (".") e o de atribuição de concatenação (".="). Eles funcionam assim:

<?php
$a = 'Meu nome é ';

$a .= 'José'; // a mesma coisa que $a = $a . 'José';
?>